>>211116Certamente! Vediamo come i 18 modi si suddividono in base ai due casi che abbiamo analizzato. Useremo R (Rosso), V (Verde) e B (Blu).
🎨 Suddivisione delle 18 Colorazioni
Caso A: Nodi 1 e 3 con lo STESSO Colore (12 Modi)
In questo caso, i nodi opposti 1 e 3 hanno lo stesso colore (C_1 = C_3). Questo colore può essere R, V o B (3 scelte).
Sottocaso A1: C_1 = C_3 = \text{Rosso (R)}
Il nodo 2 deve essere \neq R (V o B), e il nodo 4 deve essere \neq R (V o B).
* Se C_2 = \text{Verde (V)} (2 modi):
* R - V - R - V (Valido: C_4 \neq C_1, C_3)
* R - V - R - B (Valido: C_4 \neq C_1, C_3)
* Se C_2 = \text{Blu (B)} (2 modi):
* R - B - R - V (Valido: C_4 \neq C_1, C_3)
* R - B - R - B (Valido: C_4 \neq C_1, C_3)
* Totale per R: 4 modi
Sottocaso A2: C_1 = C_3 = \text{Verde (V)}
Per simmetria, ci sono altri 4 modi dove V è il colore comune.
* V - R - V - R
* V - R - V - B
* V - B - V - R
* V - B - V - B
* Totale per V: 4 modi
Sottocaso A3: C_1 = C_3 = \text{Blu (B)}
Per simmetria, ci sono altri 4 modi dove B è il colore comune.
* B - R - B - R
* B - R - B - V
* B - V - B - R
* B - V - B - V
* Totale per B: 4 modi
Caso B: Nodi 1 e 3 con Colori DIVERSI (6 Modi)
In questo caso, tutti i nodi 1, 2, 3 devono avere colori diversi (R, V, B in qualche ordine). Di conseguenza, il nodo 4 deve essere colorato con l'unico colore rimasto, che è diverso sia da C_1 che da C_3 (1 scelta).
1. Colorazione del Nodo 4 con Rosso (R)
Questo implica che i nodi 1 e 3 sono V e B, in qualsiasi ordine.
* V - R - B - R (C_1=\text{V}, C_3=\text{B}. C_4 deve essere \neq V e \neq B, quindi R)
* B - R - V - R (C_1=\text{B}, C_3=\text{V}. C_4 deve essere \neq B e \neq V, quindi R)
* Totale: 2 modi
2. Colorazione del Nodo 4 con Verde (V)
Questo implica che i nodi 1 e 3 sono R e B, in qualsiasi ordine.
* R - B - V - B (NO, C_2=\text{B} deve essere \neq C_3=\text{V}. C_1=\text{R}, C_3=\text{B}. C_4 deve essere \neq R e \neq B, quindi V. C_2 deve essere \neq R e \neq B, quindi V. C_3 deve essere \neq V. R o B.
* R - V - B - V (Valido: C_1=\text{R}, C_3=\text{B}. C_2 deve essere \neq R, e C_3 deve essere \neq C_2. C_4=\text{V})
* B - R - R - V (NO, C_2=\text{R} = C_3=\text{R})
* R - B - V - V (NO, C_3=V, C_4=V)
Rifacciamo il ragionamento per C_4 (Verde) e C_1, C_3 diversi:
Se C_4 = \text{Verde (V)}, allora C_1 e C_3 devono essere i colori rimanenti (Rosso o Blu) e devono essere diversi tra loro. Il C_2 deve essere diverso da C_1.
* Coppia 1: C_1 = \text{R}, C_3 = \text{B}
* C_4 = \text{V} (OK)
* C_2 deve essere \neq R e \neq B \implies C_2 = \text{V}.
* R - V - B - V (Valido)
* Coppia 2: C_1 = \text{B}, C_3 = \text{R}
* C_4 = \text{V} (OK)
* C_2 deve essere \neq B e \neq R \implies C_2 = \text{V}.
* B - V - R - V (Valido)
* Totale: 2 modi
3. Colorazione del Nodo 4 con Blu (B)
Questo implica che i nodi 1 e 3 sono R e V, in qualsiasi ordine.
* Coppia 1: C_1 = \text{R}, C_3 = \text{V}
* C_4 = \text{B} (OK)
* C_2 deve essere \neq R e \neq V \implies C_2 = \text{B}.
* R - B - V - B (Valido)
* Coppia 2: C_1 = \text{V}, C_3 = \text{R}
* C_4 = \text{B} (OK)
* C_2 deve essere \neq V e \neq R \implies C_2 = \text{B}.
* V - B - R - B (Valido)
* Totale: 2 modi
Questi 18 schemi di colorazione esauriscono tutte le possibilità!